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谢耳朵猜想被证明:No.73最美丽

时间:2019-05-09|栏目: 天文 • 物理 |点击:39

    谢耳朵猜想被证明:No.73最美丽

    谢尔顿身穿印有“73”的上衣


    在《生活大爆炸》中,理论物理学家谢尔顿对73这个素数情有独钟,谢尔顿认为这个素数是最优美的(the best)。他穿的衣服上就印有73这个数字。


    73到底有什么特别之处,能让挑剔而奇葩的谢尔顿为之痴迷?


    为什么是73?


    我们知道,这个世界上的复杂事物可以通过排序变得简单而清晰,比如学生在学校里有学号,员工在公司里有员工号,在快餐店等餐也有排队序号。素数也一样,早就两千多年前,欧几里得就证明了素数有无穷多个。我们可以引入一组“索引序号”,将素数从小到大排列。例如,连续的素数2、3、5、7……被编入索引序号1、2、3、4……


    按照序号排列,73是第21个素数。


    按照数学家的标准写法,可以写成P(21) = 73。


    在这种写法中,P(n)是一个数论函数(所谓数论函数,是说这个函数的自变量是正整数),P表示素数(Prime number),n的取值范围覆盖全部连续的正整数。


    依照这种写法,我们可以发现,第12个素数是37。也就是说P(12) = 37。


    在《生活大爆炸》中,谢尔顿注意到一个很有趣的事实,那就是对73与37这两个素数来说,它们正好存在有趣的对称性:P(21) = 73,而如果我们把素数73倒过来写成37、把序数21倒过来写成12,这时P(12) = 37同样成立。


    谢尔顿喜欢73这个素数,一个重要原因就在于这背后的镜像对称性。


    73与37的区别:积性


    看到这里,你可能会问:从镜像对称性上来说,73和37的地位是平等的,没有谁高谁低。既然如此,为什么谢尔顿会觉得73比37更具有科学美感呢?


    在剧中,谢尔顿没有给出进一步的解释,但现实世界中的数学家却“替”谢尔顿研究起这个问题。


    莫宁赛德学院数学副教授克里斯·斯派斯(Chris Spice)与两位数学系学生注意到,73不但具有镜像对称性,它还具有另外一个性质,那就是“积性”(product property)。


    积性的定义很简单。一个素数 p(n)如果是有“积性”的,那么,p(n)中的每一位阿拉伯数字的乘积正好等于n。


    例如:

    P(7) = 17,1×7 = 7


    P(21) = 73,7×3 = 21


    P(181440) = 2475989,

    2×4×7×5×9×8×9 = 181440


    我们注意到,谢尔顿最喜欢的73是一个具有积性的素数。但是,对于37来说,它虽然有镜像对称性,但却没有积性:3×7 = 21,与序号12不符。


    这就是37不如73优美的原因。


    当然,这些数学家不会满足于此。在此基础上,他们在2015年的一篇论文中正式提出了谢尔顿猜想:除了73这个素数同时存在镜像对称性与积性,不存在其他素数同时具备这两种性质。


    谢耳朵猜想被证明:No.73最美丽


    满足该条件的素数,也被称作谢尔顿素数。也就是说,论文作者认为,73是唯一的谢尔顿素数。


    证明谢尔顿猜想


    谢尔顿猜想的提出看似有点搞笑,因为这就好像说《射雕英雄传》里的黄蓉证明了n阶幻方的存在性定理(具体参看黄蓉与瑛姑的对话那一部分内容)。


    但是,不可否认的是,虽然剧中的谢尔顿声称73是“最优美的素数”(the best),但谢尔顿并没有说73是“独一无二”(unique)的。(因为这部剧的科学编剧也不知道73到底是不是唯一的谢尔顿素数。)


    直到今年2月,情况终于变了。斯派斯与达特茅斯大学数学教授卡尔·波默朗斯(Carl Pomerance)在《美国数学月刊》上刊发论文,证明了谢尔顿猜想。


    谢耳朵猜想被证明:No.73最美丽


    两位数学家要解决的问题是,73到底是不是唯一的谢尔顿素数(同时具有镜像对称性与积性)。


    由于理论上有无穷多的素数,所以如何缩小搜索的范围,变得十分重要。


    在论文中,作者宣称,具有积性的素数,只有上文提到的三个。但要证明这一点,就需要一些数论知识了。其中最重要的是素数定理,因为有了素数定理,就可以知道我们能知道第n个素数大概等于多少。


    有了素数定理,根据积性的定义,可以得到一个重要的结论:如果一个素数非常大,那么它肯定不具有积性。从严格的数学推导可以估算出,当素数的位数超过46位的时候,这个素数肯定不可能具有积性。


    所以,以10的46次方作为分界线,素数被分为两部分:大于1046的素数,肯定没有积性,因此证明谢尔顿猜想时可以忽略这部分;而小于1046的素数是可以具有积性的,它们才是我们应该关心的。


    由此,论文作者的搜索范围得到了限制。这个事情比张益唐当年对孪生素数猜想的论证过程要简单得多,因为张益唐要面对的是无穷多个素数,不断缩小范围,最后逼到一个极限。而波默朗斯与斯派斯只需要面对小于1046的那些小素数。


    谢耳朵猜想被证明:No.73最美丽

    卡尔·波默朗斯在解释对谢尔顿猜想的证明。(图片来源:Eli Burakian)


    这两位教授的论文一共有11页。他们在论文中部分依靠数学技巧,部分依靠计算机编程,最后检索完毕,证明了73确实是唯一的谢尔顿素数。


    当《生活大爆炸》的科学顾问、加州大学洛杉矶分校物理教授戴维·萨尔茨伯格听说了“谢尔顿猜想”被证明后,他联系上了作者,询问是否可以在接下来的《生活大爆炸》中使用这一结论。也许,在最后一季的最后一集中,我们可以听到谢尔顿亲口说出:“谢尔顿猜想被证明了”!


    原始论文:

    Proof of Sheldon Conjecture

    The Sheldon Conjecture


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