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打开通往费马大定理大门的传奇数学家去世了

时间:2019-05-13|栏目: 天文 • 物理 |点击:14


    打开通往费马大定理大门的传奇数学家去世了

    1964年的的志村五郎


    撰文 | 张华


    1958年11月17日,星期四,清晨,日本东京的一间单身公寓里,刚刚订婚的谷山丰在他的那间8平方米的房间里自杀了。


    那天早上,公寓的管理员发现谷山丰死在房间里。桌上放着一份纸条,那是他的遗书:


    “到昨天我还没确定要自杀。但一些朋友可能注意到我近来身心疲惫。此间缘由我也不明白。但这绝对不是因为某件特定的事和物。也许我只是对未来没有信心……我真心希望这件事不会给人的将来造成阴影。不管怎样说,我无法否认我抛弃了你们,但请原谅我按我自己的意愿去做……”


    而在谷山丰自杀后不久,他的未婚妻也选择结束了自己的生命。


    打开通往费马大定理大门的传奇数学家去世了

    谷山丰(左三)与同事进行讨论。


    这已经成为数学史上一个亘古难解的谜——谷山丰为什么要自杀?这就好像历史上那个叫马约拉纳的意大利物理学家神秘失踪,也埋藏了太多的秘密。


    对于谷山丰了解颇多的人,是志村五郎。


    志村五郎生前曾写过一篇文章回忆谷山丰,叫《谷山丰的一生》。


    打开通往费马大定理大门的传奇数学家去世了


    2019年5月3日,数学家志村五郎也去世了。志村五郎的离世,虽然没有像2018年阿蒂亚去世那样轰动整个学术圈,但他的人生,其实也是一个传奇。他与谷山丰一起,提出了“谷山-志村猜想”。这个猜想的重要意义在于,它是著名的费马大定理的突破口:最终,正是通过证明谷山-志村猜想,沉睡3个多世纪的费马大定理宣告破解。


    这是一个漫长的人生故事,谷山和志村都只有本科学历,却在数学史上留下了浓墨重彩的一笔。


    费马大定理


    费马大定理在1994年被证明之前叫做“费马大猜想”,这个猜想的具体内容是这样的:

    当整数n > 2时,关于x,y,z的不定方程 xn + yn = zn无非平凡的正整数解。


    在这里所谓的非平凡就是x、y、z的乘积不等于0。


    这个猜想是由17世纪的法国律师费马提出来的。费马是一位很有影响力的业余数学家,他在笔记本上写了一行字,说自己已经证明了这个猜想,但因为纸张太小写不下,所以他并没有写下证明过程。后世的数学家倾向于认为,费马其实并没有证明这个猜想。


    到了1908年,德国数学家沃尔夫斯凯尔(Wolfskehl)宣布以10万马克作为奖金,奖给在他逝世后一百年内第一个证明费马大猜想的人。


    1994年,英国数学家怀尔斯证明了“谷山-志村猜想”,从而最终证明了“费马大定理”。所以,两个本科学历的人提出的“谷山-志村猜想”看起来其实比费马大定理更基础,也更具有广泛性。


    意想不到的联系


    1954年,在战后的废墟上,谷山和志村相遇了,他们都从东京大学数学系本科毕业,分别在东京大学不同的院系担任助教与讲师。


    那时,日本最优秀的数学家都去了美国,留下来的资深教授的知识比较陈旧,无法指导谷山和志村这样渴望冲到学术最前沿的年轻教师。


    在这种情况下,年轻教师渴望学习最新的知识,只有靠自学,或者自己办讨论班。他们与一些志同道合的年轻人组织了一个数学讨论班,一起学习数学。因为当时日本和西方的隔离,这些年轻人在讨论班上时常讨论一些在欧美已经过时的课题。有一个特别冷僻的题目让谷山和志村非常着迷,那就是模形式(modular form)。


    模形式,大致来说就是一个函数,当这个函数的自变量被一个变换矩阵作用后,这个函数会发生改变,但这个改变具有很简单的性质——新函数是旧函数乘上刚才那个变换矩阵的N次方。


    谷山丰首先在模形式上做了一些研究工作,发现一些模形式与某些椭圆曲线之间存在一些朦朦胧胧的相似性,这两个来自不同数学领域的概念似乎存在同一套“数学基因”。1955年9月,国际数学大会在东京召开,时年28岁的谷山丰向大会提交了一份报告,他在报告中提出,模形式和椭圆曲线方程之间存在一种奇怪的联系。


    所谓的椭圆曲线并不是椭圆,而是指那些满足形如y2 = ax3 + bx + c(或其等价形式)的曲线。


    对于某些特定的椭圆曲线,如果我们把它看成是一个方程,在有限域求解这个方程,得到的解的个数记为M;随后谷山丰研究了一个特定的模形式,将这个模形式的傅里叶展开系数记为N。谷山丰发现,M和N相加是一个素数。


    在数学中,能将两个领域联系起来的工作都是很伟大的,比如高斯-波涅定理将微分几何与拓扑学联系在了一起。不过,由于谷山丰发现的联系很模糊,而且缺乏完整的数学证明,再加上他只有本科学历、并不是成名的数学家,所以在当时,这个想法并没有受到重视。


    志村五郎与谷山丰合作,希望能找到更多的证据来证明这种联系是真实存在的。但到了1957年,志村五郎作为日本数学家代表参加了国际数学家大会并做了报告,随后应邀去美国普林斯顿高等研究院做访问学者一年,他与谷山丰的合作暂时中止。


    就在志村五郎去日访美的这一年,留在日本的谷山丰自杀了。


    谷山-志村猜想


    谷山丰自杀以后,志村五郎再接再厉,找到了更多的论据,终于完整提出了“谷山-志村猜想”:有理数域上的椭圆曲线都是模曲线。


    但是,志村五郎还是没有办法证明这个猜想是成立的。


    所谓的模曲线,则是说这个曲线都可以用模函数参数化。这就好像我们可以用三角函数对圆周方程参数化那样。


    比如,单位圆的方程是x2 + y2 = 1,我们可以用三角函数来参数化以上的圆:

    x = cos(θ)

    y = sin(θ)


    那么,对于(有理数域上的)椭圆曲线y2 = ax3 + bx + c,谷山丰与志村五郎猜想也可以找到类似的参数化方法。举一个例子就是,对于椭圆曲线y2 + y = x3 - x2,其对应的模形式是:


    但椭圆曲线有无穷多条,所以要完整证明这个猜想,需要极高的数学技巧,而不仅仅是找到一些特列。


    终得证明


    数学界的进展有时候是很缓慢的,到了1985年,德国数学家格哈德·弗雷(Gerhard Frey)指出了“谷山-志村猜想”和费马大定理之间的存在某种关系;1986年,美国数学家肯尼斯·里贝特(Kenneth Ribet)肯定了弗雷的说法,数学界开始形成一个重要的共识:只要证明“谷山-志村猜想”,那么费马大定理就会成为一个推论自动成立。


    在这种情况下,数学家安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)开始专攻“谷山-志村猜想”。在长达7年的时间里,怀尔斯“消失”了,没有发表任何一篇文章。到了1993年的6月21日,在英国剑桥大学牛顿数学研究所,怀尔斯正式宣布“谷山-志村猜想”是成立的,这也相当于证明了费马大定理。


    打开通往费马大定理大门的传奇数学家去世了

    安德鲁·怀尔斯


    怀尔斯的报告震惊了整个数学界,但后来被检验出存在一些小瑕疵,怀尔斯与他的合作者又花了14个月的时间完善了证明。1994年9月19日,他们终于交出完整无瑕的解答,宣告费马大定理被证明。怀尔斯也成为历史上唯一一个年龄超过40岁而获得菲尔茨奖的数学家,因为证明费马大定理实在是太重要了,这个贡献是彪炳千古的。


    而这个时候的谷山丰已经离开人世快50年了。志村五郎也已经是美国普林斯顿大学数学教授。虽然只有本科学历,但他已经成为博导,指导了很多博士生。偶尔他还能想起多年前的那一幕,那是昭和时代东京的一间8平方米房间,谷山丰在里面做着数学计算,窗外是烂漫的樱花,远处是白雪皑皑的富士山……他们是满怀数学理想的年轻人,自己教育自己,准备一起前进……


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