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有个问题只能在8维和24维空间中找答案

时间:2019-06-17|栏目: 天文 • 物理 |点击:3


    有个问题只能在8维和24维空间中找答案


    三年前,瑞士洛桑联邦理工学院的Maryna Viazovska一鸣惊人,找出了在8维和24维空间中大小相等球体的最密堆积法。如今,她和合作者提出了一项更出彩的证明:解决上述问题的构型,还可以用来解决无数个不重合点的最佳排列问题。


    撰文 | Erica Klarreich

    翻译 | 马一瑗

    编辑 | 吴非


    这些点可以是无限多个相互排斥的电子的集合,它们需要达到最低能量构型;还可以代表溶液中具有聚合物长链的中心,它们需要避免与其他聚合物碰撞。相似的问题还有很多,但是否存在通用的解决方法呢?数学家认为,在大多数维度中,这都是不太可能的。


    但是,8维和24维是例外。它们各自包含一个特殊的高度对称的点构型,能同时解决所有问题。用数学语言来说,这两种构型是“普遍最优的”。


    这一新发现涵盖了Viazovska及其合作者以前大部分的工作。“但灵感的火花并未止步于此。”匹兹堡大学的数学家Thomas Hales评价道,他于1998年证明了在三维空间中,球体的最密堆积法是金字塔型。


    如今,8维、24维与1维一同成为了已知具有普遍最优构型的维度。数学家怀疑二维平面上的等边三角形晶格也是一个普遍最优构型,但是没有证据。三维空间则复杂得多:不同情形中存在不同的最优点构型,而对于某些问题,数学家对它们的最优构型甚至毫无头绪。


    “改变维度或是稍微改变问题,一切就可能完全无法预测了,”布朗大学的数学家Richard Schwartz说,“我不知道为何数学宇宙会这样古怪。”


    证明普遍最优性要比解决球体堆积问题困难得多。这是因为普遍最优性同时包含无数不同问题,而这些问题本身也很难解决。在球体堆积问题中,只用考虑每个球体附近球的位置;但是对于分散在空间中的电子,不管相距多远,每个电子还会与所有其他电子相互作用。Hales说:“即使有早期的工作支持,我也从没想过普遍最优性的证明会是可行的。”


    “他们的工作令我印象深刻,”纽约大学的数学家Sylvia Serfaty说,“它的意义相当于19世纪的数学大突破。”


    一个魔法证明



    8和24维的表现会与7、18或25维不同,这听起来也许很奇怪,但数学家们早已知道,在不同的维度里,物体的堆积方式是不同的。例如,考虑一个更高维度的球体,将它定义为与某一中心点等距的点的集合。如果比较球体与能装下它的最小立方体的体积,当维度增加时,球体占据立方体的体积比越小。如果你想把一个8维的足球装进最小的立方体盒子,那么这个球只占盒子体积的不到2%,剩下的空间全部被浪费了。


    在所有高于3的维度中,构建一个类似于金字塔堆积的结构都是可能的,并且随着维度的增加,球体之间的空隙会增大。当达到8维时,空隙突然增大到足以将新的球体放入。这就产生了一种被称为E8晶格的高度对称构型。同样,在24维中,会产生Leech晶格,可以将额外的球体放入另一个已被研究透彻的球体堆积空隙中。


    出于某种数学家们没有完全理解的原因,这两种晶格出现在从数论到数学物理等各个数学领域中。十多年来,一直有强有力的计算证据暗示,E8和Leech晶格在各自的维度上是普遍最优的,但数学家还不知道如何证明这一点。


    直到2016年,Viazovska迈出了第一步,她证明了这两种晶格是最优的球体堆积法。(她与Cohn、罗格斯大学的Abhinav Kumar、Stephen Millerrof,以及德国马克斯普朗克数学研究所的Danylo Radchenko一起得出了Leech晶格的证明)


    Hales的三维球体堆积证明足足写了数百页纸,还需要大量的计算机计算,而Viazovska的E8证明只有短短23页。她的论证核心是找出一个“魔法”函数,以证明E8是球体堆积的最优方式。这一函数可能很难找,但一旦找到,就能使证明问题豁然开朗。举例来说,如果有人问你是否存在实数x使多项式x2–6x+9为负,你第一时间可能很难回答。但是,当你意识到这个多项式等于(x-3)2时,你立刻就会知道答案是否定的,因为平方数永不为负。


    Viazovska的魔法函数很强大,甚至超乎预期。球体堆积问题只关心附近点之间的相互作用,但是Viazovska的方法似乎也适用于远程相互作用,例如电子之间的相互作用。


    高维不确定性


    要证明空间中某种点的构型是普遍最优的,必须先指定所讨论的问题体系。不存在对所有目标都是最优的点的构型,例如,当引力作用于点上时,最低能量的构型不是任何一种晶格,而是所有点都位于同一个点上的大规模堆积。


    Viazovska、Cohn和他们的合作者关注的是斥力体系。准确地说,他们考虑的条件是完全单调的,即点之间的距离越近,斥力越强。这一体系包括物理世界的众多常见力,例如电荷的库仑平方反比定律。球体堆积问题属于这一体系的边缘问题,只要把球体不重叠的条件转换为当两球中心距小于直径时,会出现无穷大的斥力就可以了。


    对于这些完全单调的力,问题就变成:对于无限多的粒子集合,其最低能量构型,或者说“基态”是什么。2006年,Cohn和Kumar通过比较能量函数与具有良好性质的较小“辅助”函数,开发了一种求基态能量下限的方法。他们发现每个维度都存在无限多的辅助函数,但无法确定哪个是最好的。


    有个问题只能在8维和24维空间中找答案

    在8和24维中证明普遍最优性的五位论文作者:从左上顺时针分别为Henry Cohn,Abhinav Kumar,Maryna Viazovska,Stephen Miller和Danylo Radchenko。


    Cohn和Kumar发现在大多数维度中,他们找到的数值边界与最广为人知的构型的能量大相径庭。但是在8和24维中,Cohn和Kumar尝试模拟了所有的斥力,其数值边界与E8和Leech晶格的能量都惊人地相似。自然,接下来的疑问就是,对于任何给定的斥力,是否存在一个完美的辅助函数,其给出的边界与E8或Leech晶格能量完全匹配。对于球体堆积问题,这正是Viazovska三年前的工作:她在模函数中找到了完美的“魔法”辅助函数,模函数的特殊对称性使它们数世纪以来一直是数学家的研究对象。


    当涉及到其他排斥点问题,例如电子问题时,每个魔法函数需要满足的特性是已知的:其必须在特定点上具有特殊值,而其傅立叶变换(用于量化函数的固有频率)则需要在其他点上具有特殊值。研究人员只是不知道这样的函数是否存在。


    通常,构造一个在某些点上有期望效果的函数很简单,但是同时控制函数及其傅立叶变换是非常困难的。Cohn说:“当你强行调整它们中的一个时,另一个总会与你的期望背道而驰。”


    事实上,这一特性属于物理中著名的不确定原理。海森堡不确定原理就是这样一个特例,因为一个粒子的动量波是其位置波的傅立叶变换。


    对于8或24维中的斥力,Viazovska大胆地推测:研究团队想要在他们的魔法函数上施加的边界限制,及其傅立叶变换都恰好落在可能和不可能之间的界线上。她怀疑,再多一点限制,就不可能存在这样的函数;再少一点限制,则可能存在太多函数。而在团队所研究的条件下,恰好只有一个函数完全合适。


    “我认为这是Viazovska的一大优点,” Cohn 说,“她既有洞察力,又很大胆。”


    而Cohn对此持怀疑态度——Viazovska的猜测太理想了,很难相信是真的。但最终团队证明了她是对的。他们不仅证明了每个斥力都正好对应一个魔法函数,还给出了其构造方法。与球体堆积一样,这种结构直截了当地证明了E8和Leech晶格的最优性。“这个结果意义重大。” Schwartz说。


    三角形晶格


    除了解决普遍最优性问题外,新的证明还解答了许多自三年前Viazovska解决球体堆积问题以来一直存在的疑问:她的魔法函数是怎么得出的? “我想很多人都很困惑,” Viazovska说,“他们不断问,‘这里是什么意思?’”


    在这篇新的论文中,Viazovska和她的合作者证明了球体堆积魔法函数只是一系列模函数中的首例,这些模函数可以被用来构造针对各种斥力的魔法函数。“现在它有很多兄弟姐妹了。” Viazovska说。


    这一切如此巧妙,仍然让Cohn觉得有些不可思议。“在数学中,有些事你必须通过坚持和蛮力来完成,”他说,“而有时候,就像这次一样,像是数学希望巧合发生。”


    下一个问题自然变成,这些方法是否适用于证明另一位候选者:二维平面中的等边三角形晶格的普遍最优性。


    与E8和Leech晶格不同,二维三角形晶格在自然界中无处不在,从蜂窝结构到超导体中的漩涡状排列均在此列。在大量的实验和模拟基础上,物理学家们提出假设,这一晶格在广泛的范围中都是最佳的。但是,没有人能给出三角形晶格普遍最优的概念解释,而这有望由数学证明解答。


    除8和24维之外,二维是唯一一个Cohn和Kumar的数值下界可以良好运作的维度。这强烈暗示了二维中应该也存在魔法函数。但是同样的构建魔法函数的方法不太能在这个新领域中延伸。它很大程度上依赖于E8与Leech晶格中,点距恰到好处,而在二维中则不是这样。Cohn认为,这一维度“目前似乎超越了人力”。


    当前,数学家们还在庆祝他们对古怪的8维和24维空间的新了解。Schwartz表示:“这是我有生之年能见到的最好的事之一。”


    原文链接:https://www.quantamagazine.org/universal-math-solutions-in-dimensions-8-and-24-20190513/


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